什么是标准差?详解

453 2025-09-29 16:39:11
文章目录 一、什么是标准差?二、公式三、举个例子🌰参考 一、什么是标准差? 在统计学中,标准差(Standard Deviation)是用于衡量变量值围绕

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一、什么是标准差?二、公式三、举个例子🌰参考

一、什么是标准差?

在统计学中,标准差(Standard Deviation)是用于衡量变量值围绕其平均值变化程度的指标。低标准差表示这些值通常接近平均值(也称为期望值),而高标准差则表示这些值分布在更广的范围内。标准差常用于确定哪些值是异常值,哪些不是。

标准差其实就是方差(variance)的平方根。方差是数据集中每个数值与平均值之间差异的平方的平均值,而标准差则提供了一个与原始数据相同单位的度量,便于理解数据的离散程度。

二、公式

假设,我们有一组数据:

X

=

[

x

1

,

x

2

,

,

x

N

]

X=[x_{1},x_{2}, \dots, x_{N}]

X=[x1​,x2​,…,xN​],且每个值都有相同的概率,则标准差公式为:

σ

=

1

N

Σ

i

=

1

N

(

x

i

μ

)

2

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\Sigma^{N}_{i=1}(x_{i}-\mu)^{2}}

σ=N1​Σi=1N​(xi​−μ)2

其中,

μ

\mu

μ代表均值,公式为:

μ

=

1

N

Σ

i

=

1

N

x

i

\mu = \frac{1}{N}\Sigma^{N}_{i=1}x_{i}

μ=N1​Σi=1N​xi​

三、举个例子🌰

体重总体标准差

要计算总体标准差,首先需要找出每个人体重与平均体重的差值,然后将这些差值平方,接着计算这些平方差值的平均数,最后对这个平均数开平方。以下是这5份体重数据(单位为千克):

X

=

[

50

,

55

,

50

,

60

,

50

]

X=[50, 55, 50, 60, 50]

X=[50,55,50,60,50]

体重的均值为:

μ

=

50

+

55

+

50

+

60

+

50

5

=

53

\mu = \frac{50+55+50+60+50}{5}=53

μ=550+55+50+60+50​=53 接着,我们计算方差(Variance):

σ

2

=

1

N

Σ

i

=

1

N

(

x

i

μ

)

2

\sigma^{2}=\frac{1}{N} \Sigma^{N}_{i=1}(x_{i}-\mu)^{2}

σ2=N1​Σi=1N​(xi​−μ)2

套入上述公式,我们可以得到:

(

50

53

)

2

=

9

(50 - 53)^2= 9

(50−53)2=9

(

55

53

)

2

=

4

(55 - 53)^2= 4

(55−53)2=4

(

50

53

)

2

=

9

(50 - 53)^2= 9

(50−53)2=9

(

60

53

)

2

=

49

(60 - 53)^2= 49

(60−53)2=49

(

50

53

)

2

=

9

(50 - 53)^2= 9

(50−53)2=9

σ

2

=

9

+

4

+

9

+

49

+

9

5

=

16

\sigma^{2}=\frac{9+4+9+49+9}{5}=16

σ2=59+4+9+49+9​=16

最后,因为标准差等于方差的平方根,所以:

σ

=

16

=

4

\sigma=\sqrt{16}=4

σ=16

​=4

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参考

Standard deviation by WikipediaVariance by Wikipedia

微信申诉怎么老是失败|红警里国家这么多,哪个国家最强?策略分析及推荐!